블랙숄즈 모형의 가정이 무너지는 구간, 옵션값이 왜곡되는 이유

블랙숄즈 모형의 가정이 무너지는 구간, 옵션값이 왜곡되는 이유

같은 만기의 옵션인데도 행사가격만 다를 뿐인 옵션들의 내재변동성이 서로 다르게 거래되는 모습을 보면 의아하게 느껴질 수 있습니다. 옵션 가격결정의 표준으로 여겨지는 블랙숄즈 모형대로라면 같은 기초자산, 같은 만기의 옵션은 하나의 변동성 값으로 설명돼야 하는데, 실제로 시장에서 거래되는 옵션들의 내재변동성을 행사가격별로 늘어놓고 비교해보면 곡선 형태로 휘어져 있는 것을 확인할 수 있습니다. 이 왜곡이 왜 생기는지, 모형의 어떤 가정이 무너지고 있는지 살펴보겠습니다.

블랙숄즈 모형이란 무엇이고 어떤 가정 위에 세워져 있는가

블랙숄즈 모형은 옵션의 이론적 가격을 계산하기 위해 몇 가지 핵심 가정을 전제로 합니다. 기초자산의 수익률이 정규분포를 따른다는 가정, 만기까지 변동성이 일정하게 유지된다는 가정, 무위험이자율이 일정하다는 가정, 그리고 거래비용이 거의 없다는 가정이 대표적입니다. 이 가정들이 성립한다면 같은 기초자산과 같은 만기를 가진 모든 옵션은 행사가격과 무관하게 동일한 내재변동성으로 설명돼야 합니다. 문제는 실제 금융시장이 이 가정들을 충실히 따르지 않는다는 데 있습니다.

정규분포 가정의 붕괴, 팻테일이라는 현실

가장 근본적으로 무너지는 가정은 수익률이 정규분포를 따른다는 전제입니다. 수학자 브누아 만델브로트의 1963년 연구에 따르면, 다우존스 지수가 정말 정규분포를 따른다면 하루에 3.4% 이상 변동하는 날이 1916년부터 2003년 사이에 58일 정도만 나와야 하는데, 실제로는 1001일이나 발생했습니다. 7% 이상의 변동은 정규분포상 30만 년에 한 번 나와야 할 사건인데도 20세기 한 세기 동안에만 48차례나 나타났습니다. 실제로 이런 극단적인 가격 변동의 빈도를 과거 데이터와 비교해보면, 시장은 정규분포가 예측하는 것보다 훨씬 자주 큰 폭의 변동을 겪는다는 것을 확인할 수 있습니다. 이런 극단값이 자주 나타나는 현상을 ‘팻테일(fat tail)’이라고 부르며, 이는 블랙숄즈 모형이 극단적인 위험을 체계적으로 과소평가하고 있다는 것을 의미합니다.

실제 사례로 본 정규분포의 실패, 1987년 블랙먼데이

이 가정의 붕괴가 가장 극적으로 드러난 사례가 1987년 10월 19일 ‘블랙먼데이’입니다. 이날 S&P500 지수는 하루 만에 약 20.5% 폭락했는데, 블랙숄즈 모형의 정규분포 가정 아래에서는 이 정도 규모의 하락이 통계적으로 약 20 표준편차에 해당하는 사건으로, 이론상 우주의 수명 동안에도 일어나서는 안 될 확률의 사건이었습니다. 실제로 이 사건 이후 옵션 시장에서는 근본적인 변화가 나타났는데, 같은 만기의 옵션이라도 행사가격이 낮은(주가 하락 방향의) 옵션일수록 내재변동성이 더 높게 형성되는 이른바 ‘변동성 스마일(혹은 스큐)’ 현상이 본격적으로 자리 잡았습니다. 투자자들이 블랙먼데이 같은 극단적 폭락이 다시 일어날 수 있다는 것을 학습한 뒤로, 하방을 방어해주는 풋옵션에 정규분포가 설명하지 못하는 추가적인 프리미엄을 지불하기 시작한 것입니다.

실제 사례로 본 반복되는 극단값, 2008년 금융위기

정규분포 가정의 실패는 일회성 사건에 그치지 않았습니다. 2008년 글로벌 금융위기 당시 한 대형 투자은행의 최고재무책임자는 시장이 연속으로 여러 날에 걸쳐 25 표준편차에 해당하는 변동을 겪었다고 언급한 바 있는데, 이는 정규분포 모형에서는 사실상 존재할 수 없다고 봐야 할 수준의 사건이 짧은 기간에 반복적으로 발생했다는 뜻입니다. 실제로 이 시기 옵션시장의 내재변동성 곡선을 살펴보면, 평상시보다 훨씬 가파른 스큐가 형성되며 시장 참가자들이 극단적인 하락 위험에 대해 얼마나 큰 프리미엄을 요구했는지를 확인할 수 있습니다.

왜곡이 옵션 가격에 실제로 반영되는 방식

이런 가정의 붕괴는 추상적인 통계 문제로 끝나지 않고, 실제 옵션 가격에 구체적으로 반영됩니다. 블랙숄즈 모형 하나의 변동성 값으로는 시장에서 관찰되는 옵션 가격을 설명할 수 없기 때문에, 실무에서는 행사가격마다 서로 다른 내재변동성을 역산해 사용하는 방식으로 이 괴리를 우회합니다. 실제로 주가지수 옵션시장의 내재변동성을 행사가격별로 그려보면, 등가격 옵션보다 하락 방향의 외가격 풋옵션에서 내재변동성이 뚜렷하게 높게 형성되는 곡선을 확인할 수 있는데, 이는 시장이 모형의 가정과 무관하게 급락 위험을 별도로 가격에 반영하고 있다는 증거입니다. 결국 블랙숄즈 모형은 옵션 가격을 계산하는 출발점으로 여전히 널리 쓰이지만, 실제 가격은 그 모형이 설명하지 못하는 부분을 시장 참가자들의 경험과 학습이 메우는 방식으로 형성되고 있는 셈입니다.

투자자가 이 왜곡을 어떻게 활용할 것인가

블랙숄즈 모형의 가정이 현실과 다르다는 것을 이해하면, 옵션 가격을 해석하는 방식도 달라져야 합니다. 단일 변동성 값으로 옵션이 저평가됐는지 고평가됐는지를 단순하게 판단하기보다, 행사가격별 내재변동성 곡선의 모양(스큐의 기울기)이 평소와 다르게 가팔라지거나 완만해지는지를 함께 살펴보는 것이 시장이 실제로 어떤 위험을 가격에 반영하고 있는지를 읽는 더 현실적인 방법입니다. 특히 시장이 안정적으로 보이는 시기라도 팻테일 현상이 보여주듯 극단적인 사건은 통계적 직관보다 훨씬 자주 발생할 수 있다는 점을 고려해, 모형이 예측하는 확률에 지나치게 의존하기보다 실제 시장가격이 담고 있는 경계심을 함께 읽는 균형 잡힌 접근이 필요합니다.